Новогодняя елочка из пентамино

Поскольку праздники уже не за горами, хочу поздравить любителей пентамино с наступающим Новым Годом и Рождеством и предлагаю собрать вот такую елочку:

Новогодняя елочка из пентамино

Желаю всем удачи, благополучия и исполнения желаний в новом году!
Здесь елочка и снеговик:

Одностороннее пентамино, задача №3

И еще одна задача из этой серии: сложите из 18 элементов одностороннего пентамино прямоугольник 30х3.

Решение:

Одностороннее пентамино, задача №2

Попробуйте построить из элементов одностороннего пентамино прямоугольник 15х6.
Задача решается так:

Одностороннее пентамино, задача №1

Когда мы обсуждали виды и количество фигур пентамино, то отметили, что в процессе игры фигуры разрешается укладывать как одной, так и другой стороной. Всего в головоломке участвуют двенадцать элементов, при этом шесть из них симметричны и не меняют своей конфигурации, а остальные асимметричны и при переворачивании становятся «зеркальными». Таким образом, если мы добавим в набор еще шесть «отраженных» элементов, то получим так называемое одностороннее пентамино из 18 элементов:

Одностороннее пентамино - набор фигур

Если вам обычное пентамино кажется слишком легким, попробуйте задачи из серии одностороннего пентамино. Вот первая из них: из 18 элементов соберите прямоугольник 10х9.

Решение:

Два прямоугольника, вариант №4

И еще один вариант фигуры, состоящей из двух прямоугольников:

Пентамино - прямоугольники 3х5 и 9х5

Решение головоломки:

Два прямоугольника, вариант №3

Попробуйте собрать из элементов пентамино два прямоугольника: 5х4 и 10х4.

Пентамино - прямоугольники 5х4 и 10х4

Собрать эти фигуры можно так:

Возвращаясь к прямоугольникам

Помните задания на построение прямоугольников из элементов пентамино - раз, два, три и четыре?
А вот еще одна интересная задача  - нужно сложить прямоугольник 10х6 таким образом, чтобы элемент "полоса" не выходил на границу прямоугольника. "Полоса" - это самый длинный элемент пентамино, вот такой:

Элемент петамино "полоса"

Решить эту головоломку можно так:

Геометрическая фигура, вариант №11

И еще одна фигура пентамино из этой серии:

Геометрическая фигура, вариант №11

Собирается так:

Геометрическая фигура, вариант №10

Следующая геометрическая фигура:

Геометрическая фигура, вариант №10

Вариант решения:

Геометрическая фигура, вариант №9

Геометрическая фигура пентамино №9:

Геометрическая фигура, вариант №9

Сложить эту фигуру пентамино можно так:

Геометрическая фигура, вариант №8

Следующая геометрическая фигура пентамино из этой серии:

Геометрическая фигура, вариант №8

Решение:

Геометрическая фигура, вариант №7

Следующие пять геометрических фигур с тремя симметрично расположенными отверстиями тоже можно отнести к числу конгруэнтных, поскольку каждая из них состоит из двух симметричных частей. На первый взгляд фигуры кажутся похожими, однако каждая из них собирается по-своему.

Геометрическая фигура, вариант №7

Собрать эту фигуру можно так:

Конгруэнтные фигуры, вариант №3

Следующая задача: сложите эту фигуру из элементов пентамино таким образом, чтобы она состояла из двух конгруэнтных частей:

Конгруэнтное разбиение, исходная фигура

Ответ:

Конгруэнтные фигуры, вариант №2

Еще одна интересная задача пентамино на конгруэнтное разбиение: сложите прямоугольник 6х10 таким образом, чтобы, разбив его на две конгруэнтные части, путем простого сдвига этих частей его можно было превратить в такую фигуру:

Пентамино фигура прямоугольник 7х9 с тремя отверстиями

Ответ:

Конгруэнтные фигуры, вариант №1 - прямоугольники

В геометрии существует понятие конгруэнтности (по-латыни congruens - соразмерный, соответствующий, совпадающий).  Две фигуры или две части одной фигуры называются конгруэнтными, если одна из них может быть переведена в другую сдвигом, вращением и зеркальным отображением (или их композицией). Например, вот эти две симпатичные фигуры конгруэнтны:

Но их мы трогать, пожалуй, не будем, а вместо этого решим такую задачу: прямоугольник 5х12 нужно разбить на две конгруэнтные части таким образом, чтобы из них можно было сложить прямоугольник 6x10.

Решение:

Геометрическая фигура, вариант №6

Геометрическая фигура пентамино №6:

Геометрическая фигура, вариант №6

Собрать ее можно так:

Геометрическая фигура, вариант №5

Следующая геометическая фигура пентамино - пирамида с 4 отверстиями:

Геометрическая фигура, вариант №5

Как построить пирамиду:

Геометрическая фигура, вариант №4

Еще одна интересная геометрическая фигура:

Геометрическая фигура, вариант №4

Собрать эту фигуру пентамино можно так:

Геометрическая фигура, вариант №3

Геометрическая фигура пентамино №3:

Геометрическая фигура, вариант №3

Решение здесь:

Геометрическая фигура, вариант №2

Еще одна геометрическая фигура пентамино, немного напоминающая цветок:

Геометрическая фигура, вариант №2

Собирается эта фигура так:

Геометрическая фигура, вариант №1

Некоторые фигуры пентамино трудно отнести к какой-либо серии, но собирать их не менее увлекательно:

Геометрическая фигура, вариант №1

Решение головоломки:

Две группы из элементов пентамино, вариант №2

Задача та же, но фигуры другие:

Две группы элементов пентамино, вариант №2

Собрать их можно так:

Две группы из элементов пентамино, вариант №1

Еще одна интересная задача - сложить из 12 элементов пентамино две одинаковые фигуры:

Две группы элементов пентамино, вариант №1

Решение головоломки:

Снова о прямоугольниках

Вопрос: можно ли сложить прямоугольник 10х6 таким образом, чтобы каждый элемент выходил на границу прямоугольника хотя бы одной стороной?

Можно:

Три группы из элементов пентамино, вариант №4

И еще три группы:

Три группы элементов пентамино, вариант №4

Собираются так:

Три группы из элементов пентамино, вариант №3

То же задание, вариант фигур №3:

Три группы элементов пентамино, вариант №3 

Решение:

Три группы из элементов пентамино, вариант №2

Другие фигуры, но цель та же самая: построить три одинаковые фигуры из двенадцати элементов пентамино:

Три группы элементов пентамино, вариант №2

Ответ:

Три группы из элементов пентамино, вариант №1

Задача: разбейте двенадцать элементов пентамино на три группы по четыре элемента в каждой таким образом, чтобы из них можно было сложить эти три одинаковые фигуры:

Три группы элементов пентамино, вариант №1 

Решение этой головоломки:

Два прямоугольника, вариант №2

Еще один вариант головоломки с двумя фигурами: прямоугольники 5х5 и 7х5.

Пентамино - прямоугольники 5х5 и 7х5

Решение:

Два прямоугольника, вариант №1

Пожалуй, самой сложной и самой интересной задачей является то, как собрать из 12 элементов пентамино несколько (две или более) отдельных фигур. Классический пример - это два прямоугольника 5x6:

Пентамино - два прямоугольника 6х5

Собрать эти фигуры можно так:

Пентамино на Android

Замечательная игра пентамино вдохновила меня не только на создание этого блога, но и разработку игры под Android. Теперь мое приложение PentaMania можно скачать с Google Play:

Пентамино на Android

Это мое первое приложение на Android, поэтому прошу не судить слишком строго. В то же время комментарии, отзывы и конструктивная критика горячо приветствуются.

Фигуры пентамино, которые встречаются в игре, а также варианты решения этих фигур, можно посмотреть в этом блоге по тегу pentamania. К сожалению, не все известные мне фигуры удалось включить в игру – как показала практика, если фигура очень «вытянута» в длину или ширину (например, фигуры из шахматной серии), ее будет неудобно собирать на экране смартфона. Тем не менее, я планирую в дальнейшем развивать программу и в следующих обновлениях обязательно подберу и включу в игру новые фигуры пентамино.

Параллелограммы

Помните задачу о прямоугольниках? Теперь настала очередь других геометрических фигур - параллелограммов. Точно так же, как и в задаче о прямоугольниках, из фигур пентамино можно сложить параллелограммы 6×10, 5×12, 4×15 и 3×20. Конечно же, складываться они будут по-другому, а самой сложной из них является фигура 3×20.

Пентамино - Параллелограмм 6x10

Пентамино - Параллелограмм 5x12

Пентамино - Параллелограмм 4x15

Пентамино - Параллелограмм 3x20

Решение:

Пентамино "шахматы", фигура "пешка"

И последняя фигура из шахматной серии пентамино - пешка.
Индийский раджа Акбар, живший в XIX веке, практиковал игру в шахматы при помощи своих танцовщиц. Он расставлял их в саду по правилам игры, забирался на высокую мраморную башню и, наблюдая сверху, совершал ими шахматные ходы, отпуская девушек по мере удаления фигур с поля.

Пентамино фигура "Пешка"

Как собрать фигуру:

Пентамино "шахматы", фигура "ладья"

Фигура пентамино "ладья".
Положение игроков в обществе нередко влияло на стиль их игры. Например, и Наполеон, и Карл XII считали, что королю позорно прятаться, а потому при игре в шахматы они никогда не делали рокировки. По слухам, Карл из-за этого частенько проигрывал.

Пентамино фигура "Ладья"

Вариант решения:

Пентамино "шахматы", фигура "конь"

Следующая фигура пентамино из серии "шахматы" - конь.
В древних и средневековых шахматах имелось немало экзотических модификаций фигур: драконы, кентавры, епископы, всадники и т.д. С развитием цивилизации их набор пополнялся, в том числе гренадерами, саперами и другими военными специалистами, а XX век обогатил шахматы танками, самолетами и даже атомной бомбой, в которую превращается пешка, добравшись до последней горизонтали.

Пентамино фигура "Шахматный конь"

Лошадью ходи, лошадью:

Пентамино "шахматы", фигура "слон"

Фигура пентамино «шахматный слон».
Эта фигура у разных народов имеет самые разные названия: «шут» - у французов, «бегун» - у немцев, «офицер» - у болгар и украинцев, «епископ» - в англоязычных странах.

Пентамино фигура "Шахматный слон"

Вариант решения:

Пентамино "шахматы", фигура "ферзь"

Следующая фигура - ферзь.
Переименование шахматного «ферзя» в «королеву» связано с реальными фактами истории. В древние времена эта фигура называлась «визирь» (первый министр) или «ферзь», передвигалась только на одну клетку по диагонали и была слабой фигурой. А в XV веке произошло изменение правил игры: фигура «ферзь» стала называться «королевой» и получила значительную игровую силу. Многие историки шахмат считают, что сила, приобретенная шахматной королевой, соответствует власти и политическому влиянию, полученному реальной королевой – Изабеллой Кастильской.

Пентамино фигура "Ферзь"

Собрать эту фигуру пентамино можно так:

Пентамино "шахматы", фигура "король"

Фигура пентамино "шахматный король".
Первый шахматный «компьютер» был сконструирован в 1770 году: это был аппарат в виде шахматного стола и механического турка, передвигавшего фигуры руками. «Компьютер» обыгрывал почти всех, в том числе Наполеона и Бенджамина Франклина. Только через 50 лет раскрылся обман: под столом скрывался живой человек.

Пентамино фигура "Шахматный король"

Решение головоломки:

Пентамино "предметы", фигура №2 - "пистолет"

Фигура пентамино "пистолет".
Эта фигура интересна тем, что границы всех элементов пентамино образуют уникурсальную линию - это такая линия, которую можно обойти, побывав дважды только в точках самопересечения.

Пентамино фигура "Пистолет"

Собрать фигуру можно так:

Пентамино "предметы", фигура №1 - "ключ"

Появление первых висячих замков и ключей с бородками относится к эпохе Древнего Рима. Люди носили ключи от замков с собой, а поскольку римские одежды не предусматривали карманов, то закреплялись ключи на специальных браслетах. Позднее римские мастера научились делать миниатюрные замочки для шкатулок, а ключи от них носились как украшение на пальцах. На какое-то время изготовление замков и ключей стало делом ювелиров - настолько они стали малы.

Пентамино фигура "Ключ"

Решение этой фигуры пентамино:

Пентамино "посуда", фигура №7 - "кубок"

Следующая фигура - кубок.
В средневековье после рыцарских турниров победителю подносили кубок вина, обычай сохранился, и примерно с середины XIX века кубок стал применяться в качестве приза или подарка.

Пентамино фигура "Кубок"

Собрать эту головоломку очень просто:

Пентамино "посуда", фигура №6 - "бокал"

Фигура пентамино "бокал".
Бокал красного вина и плитка шоколада способны продлить жизнь человека на 6 лет и снизить риск сердечно-сосудистых заболеваний. К такому выводу пришла группа ученых из Австралии и Новой Зеландии после проведения научных исследований.

Пентамино фигура "Бокал"

Решение:

Пентамино "посуда", фигура №5 - "чашка"

Фигура №5 - чашка.
В октябре 2010 года в Шри Ланке заварили самую большую в мире чашку чая высотой 3,5 метра. Чай заваривался в течении нескольких часов в соответствии с популярным южно-азиатским рецептом: с сахаром и сухим солодовым молоком. Впоследствии кружку с чаем провезли по улицам столицы, после чего чай разлили в маленькие стаканчики и раздали местным жителям.

Пентамино фигура "Чашка"

Собрать эту фигуру пентамино можно так:

Пентамино "посуда", фигура №4 - "ваза"

Фигура пентамино "ваза".
Самую большую вазу в мире можно найти в Государственном Музее Эрмитаж в Санкт-Петербурге. Это настоящее произведение искусства. Созданная из зелено-волнистой яшмы, весом 19 тонн и диаметром более 5 метров, она по праву зовется царицей ваз.

Пентамино фигура "Ваза"

Вариант решения:

Пентамино "посуда", фигура №3 - "пивная кружка"

Следующая фигура пентамино - пивная кружка.
Четыре тысячи лет назад в Вавилоне была прекрасная традиция: в первый месяц после свадьбы отец невесты устраивал жениху "пивной месяц". Это означало, что жених мог целый месяц пить пиво за счет тестя.
Как жаль, что традиция не сохранилась.

Пентамино фигура "Пивная кружка"

Собрать эту фигуру можно так:

Пентамино "посуда", фигура №2 - "чайник"

Фигура номер 2 - чайник.
"Чайник - мягкий и тёплый, как мудрый правитель.
Он силён и смел, как великий муж.
Он свободен в своем потоке, как ветер поэта."
(Чжоу Бугао, первая половина XVII в.)
Вот такие удивительные стихи рождает, казалось бы, простой предмет у настоящих ценителей!
С чашечкой чая эта фигура пентамино собирается быстрее - проверено!

Пентамино фигура "Чайник"

Приятного чаепития!

Пентамино "посуда", фигура №1 - "кастрюля"

Начинаем серию фигур пентамино "посуда". Первая фигура - кастрюля.
Стоимость самой дорогой в мире кастрюли превышает 600 тысяч долларов. Ее ручки изготовлены из 738 грамм золота и инкрустированы бриллиантами. Интересно, вкусный ли суп в ней получается?

Пентамино фигура "Кастрюля"

Собрать фигуру можно так:

Пентамино на шахматной доске - 2

Любопытен и следующий вопрос, относящийся к пентамино: каким наименьшим числом пентамино можно «заминировать» шахматную доску? Под «заминированием» доски здесь понимается такое расположение на ней нескольких пентамино, что ни одно из оставшихся пентамино поместить на шахматной доске более нельзя.

Наименьшее число, необходимое для «заминирования» шахматной доски, - 5. Одно из возможных решений задачи показано на рисунке:

Пять пентамино, перекрывающих шахматную доску

Пентамино на шахматной доске

Пентамино может быть не только головоломкой, но и настольной игрой. Вот как описывает подобную игру С. Голомб в своей книге "Полимино":

"Пентамино – это не только задачи. Их размещения на шахматной доске размером 8х8 можно рассматривать и как увлекательную игру. Несколько (двое или больше) игроков поочередно выбирают любое из 12 пентамино и располагают его на свободных клетках шахматной доски. Проигрывает тот, кто первым не сможет разместить на доске ни одного из оставшихся пентамино. Если же все 12 пентамино удалось разместить на доске, то выигрывает ходивший последним. Эта игра наверняка будет продолжаться не менее 5 и не более 12 ходов и заведомо не может кончиться вничью; в начале партии имеется даже больше разнообразных «ходов», чем у шахмат. Игра, бесспорно, заинтересует игроков самого разного возраста.

Сформулировать какие-либо четкие советы по поводу наивыгоднейшей стратегии игры здесь не просто, но все же позволим себе указать два важных правила:

1. Старайтесь играть так, чтобы на шахматной доске всегда оставалось место для четного числа пентамино (разумеется, если вы играете вдвоем).

2. Если вам не удается проанализировать создавшуюся позицию, постарайтесь по возможности усложнить ее так, чтобы противник оказался в еще более затруднительном положении, чем вы."

Пентамино на шахматной доске - пример игры. Победил красный игрок.

Пентамино "транспорт", фигура №6 - "трактор"

Следующий на очереди - трактор.
В музее народного искусства в Ереване можно увидеть самый маленький в мире трактор, который может приводиться в движение. Его величина не превышает булавочную головку.

Пентамино фигура "Трактор"

Вариант решения: